Protocole Aloha avec un nombre fini de stations
Protocole permettant d'éviter les
Collisions, selon lequel chaque message non encore transmis est émis avec une probabilité \(p\), indépendamment des autres messages et des tentatives passées pour ce message.
$$L_{n+1,s}=L_{n,s}+\underbrace{A_{n,s} }_\text{iid}-\underbrace{\overbrace{B^\prime_{n,s} }^{=\overbrace{B_{n,s} }^{\sim\mathcal{Ber}(p_s)}\Bbb 1_{L_{n,s}\gt 0} }\prod_{s^\prime\ne s}(1-B^\prime_{n,s^\prime})}_{=1\text{ si et seulement si } s \text{ est seul a avoir envoyé à }n }$$
- la Chaîne de Markov \(\{(L_{n,s})_{s\in\mathcal S}\}_{n\geqslant0}\) est toujours irréductible et apériodique
- on note \(\lambda_s:=\) \({\Bbb E}[A_{n,s}]\)
- si \(\forall s\), \({\Bbb E}[A_{n,s}^2]\lt \infty\) et \(\lambda_s\lt p_s\prod_{s^\prime\ne s}(1-p_{s^\prime})\), alors \(\{(L_{n,s})_{s\in\mathcal S}\}_{n\geqslant0}\) est ergodique
- si \(\forall s\), \(\lambda_s\gt p_s\prod_{s^\prime\ne s}(1-p_{s^\prime})\), alors \(\{(L_{n,s})_{s\in\mathcal S}\}_{n\geqslant0}\) est transitoire
- en particulier si \(\lambda_s=\lambda/\lvert\mathcal S\rvert\) et \(p_s\equiv p\), alors...
- si \(\lambda\lt \lvert \mathcal S\rvert p(1-p)^{\lvert\mathcal S\rvert-1}\), alors \(\{(L_{n,s})_{s\in\mathcal S}\}_{n\geqslant0}\) est récurrent
- si \(\lambda\gt \lvert \mathcal S\rvert p(1-p)^{\lvert\mathcal S\rvert-1}\), alors \(\{(L_{n,s})_{s\in\mathcal S}\}_{n\geqslant0}\) est transitoire
- pour avoir l'ergodicité, on doit avoir \(p\underset{\lvert \mathcal S\rvert\to+\infty}\longrightarrow0\)
- pas pratique ! (les Collision prennent trop de temps à se résoudre)
Exercices
